¿Qué es el álgebra? A lo largo del blog hemos mencionado el término y, si bien este no es un portal matemático especializado, sí lo es de cultura general, enciclopédico, que vemos vínculo entre este concepto, las matemáticas y el desarrollo de las computadoras y los servidores en general.
El álgebra es un término proveniente de la antigua Babilonia, sugerida por el matemático persa, Al-Khwarizmi, entre el año 780 y 850 d. C. Es una rama de las matemáticas donde las operaciones son generalizadas a través de letras y números con el fin de representar, en términos matemáticos, situaciones de la vida cotidiana como una operación.
Su aplicación está basada en la combinación de estructuras subjetivas que obedecen determinadas reglas, las cuales pueden ser representadas a través de números o letras. En términos etimológicos, el significado de “álgebra” hace referencia a “reintegración” y/o “recomposición”, haciendo referencia a la combinación de los elementos representados.
No obstante, el álgebra disfruta de una diversidad de aplicaciones, lo que devienen en una variedad de conceptos que nos corresponde comprender en este artículo. A continuación, un glosario de todos los conceptos relativos al álgebra como lo son relacional, lineal, matricial, asociativa, etc.
Lineal
El álgebra lineal es una ramificación del álgebra tradicional, la cual está vinculada al estudio de conceptos como ecuaciones lineales, vectores, espacios vectoriales y matrices respectivamente. En esta variante, se hace énfasis en abstracciones del tipo geométricas, lo que es implementado con la finalidad de observar los conceptos ya mencionados.
El término “lineal” está asociado a una sucesión o una raya, haciendo referencia a una función lineal, la cual será representada como f(x)=ax, aunque es posible encontrar otras variantes.
De esta manera, resultan de gran importancia, no solo los cálculos, sino también los conceptos. Al respecto, los espacios vectoriales son la representación de un conjunto que no se encuentra vacío, una operación interna o una externa.
Las matrices son un conjunto de números del tipo bidimensional, las cuales permiten representar los coeficientes que posee un sistema de ecuación lineal. Por su parte, los vectores son aquellos elementos que constituyen un fragmento del espacio vectorial.
El álgebra lineal ha disfrutado de aportes importantes desde su desarrollo a mitades del siglo XIX, como lo han sido los de William Hamilton (1805 – 1865) de Irlanda y Herman Grassmann (1809 – 1877) de Alemania. Sin embargo, se sabe que civilizaciones antiguas de Babilonia y Egipto ya habrían creado soluciones en ecuaciones lineales como la cuadrática de la forma (a+bx=c).
El uso del álgebra lineal es fundamental para estudios de arquitectura, matemáticas, ingeniería, física, etc. Además, es empleada para solucionar redes eléctricas, el diseño estructural de edificios y/o casas, en la determinación de ingresos, egresos, pérdidas y ganancias (economía), redes de comunicación, y otras áreas.
De Boole o Booleana
Se le denomina álgebra Booleana gracias a George Boole, un matemático inglés que, para el año 1854, presentaría este método de álgebra, el cual ha sido empleado para simplificar circuitos de conmutación lógica en electrónica digital.
En algunos casos, recibe el nombre de “cambio de álgebra”, dada la simplificación de los circuitos. Su uso está orientado a representar el funcionamiento de todos los circuitos lógicos mediante números, a través de las denominadas Leyes del álgebra de Boole.
De esta misma manera, son empleados los Teoremas de Álgebra de Boole, con la finalidad de realizar operaciones lógicas y cálculos de manera más rápida. La función que es representada mediante la salida y entrada de un circuito lógico será denominada como función booleana.
En términos más específicos, la lógica de Boole solo acepta dos opciones para un circuito, representadas por 0 y 1. Estas hacen referencia a “Falso” para el caso del primero, y “Verdadero”, para el caso del segundo. A través de este rasgo, las funciones típicamente son del tipo binarias, es decir, que solo requieren de dos opciones.
Vectorial
El álgebra vectorial es una ramificación de las matemáticas, la cual está especializada en el estudio de espacios vectoriales con sus transformaciones lineales, matrices, ecuaciones lineales y vectores.
Este tipo de álgebra proviene de la geometría cartesiana y el estudio de los cuaterniones (1, i, k y j) cuando se determinó que los vectores podrían ser empleados en la representación de abstracciones físicas presentes en el espacio. En este sentido, ha sido empleada en áreas como ingeniería, gráfica computacional, análisis funcional y física.
Existen tres principales fundamentos a través de los cuales el álgebra vectorial estudia analiza un vector:
- Axiomáticamente: Sin importar el sistema de representación geométrica, se hacen descripciones sobre un vector. Para ello, el estudio de las figuras se realiza mediante la representación de un sistema basado en la referencia, el cual puede poseer al menos una dimensión. Estos análisis contemplan el estudio de: sistemas de coordenadas polares, de coordenadas rectangulares y sistema unidimensional.
- Analíticamente: Se hace uso de números y sus diferentes componentes para describir tanto vectores como operaciones. Este tipo de descripciones es empleado para obtener representaciones geométricas ante un sistema de coordenadas específicamente.
- Geométricamente: Se hace uso de rectas que se orientan a través de una operación algebraica entre números reales para representar los vectores.
Relacional
El álgebra relacional es un grupo de operaciones que, ubicadas en una tabla relacional, describen sistemáticamente cómo puede computarse una respuesta sobre las relaciones de la tabla. De esta forma, se definen operaciones de mayor complejidad a través de la composición.
La tabla relacional es el elemento más distintivo del álgebra relacional, la cual funciona como una representación extensional sobre una relación que se define en un dominio determinado. Gracias a esta tabla, es posible construir relaciones nuevas partiendo de otras ya existentes.
Las relaciones creadas serán usadas para crear representaciones de cara a una determinada consulta sobre una base de datos. Esto, en conjunto con las propiedades algebraicas, supone una obtención mucho más eficiente y optimizada de la consulta de los datos relacionados.
Las operaciones presentes en el álgebra relacional son producto cartesiano, renombramiento, diferencia de conjuntos, proyección, unión y selección. Se adicionan otras operaciones como asignación, conjuntos, reunión natural y división.
Simbólica
El álgebra simbólica es un término empleado para destacar el uso de constantes, símbolos o signos para explicar una determinada operación algebraica. Aunque pueda parecer una descripción simple y con un aporte reducido, el uso del álgebra simbólica destaca como una evolución importante en lo que a la realización y representación de operaciones se refiere.
Para comprenderlo en mayor medida, es importante recurrir al concepto del álgebra retórica, conocida como la primera etapa del desarrollo del álgebra históricamente hablando. En esta etapa, no existían recursos que permitieran expresar las relaciones entre los elementos representados matemáticamente con signos.
Por ende, se hacía uso del lenguaje natural para explicar las operaciones a realizar, suponiendo un mayor reto a la representación y, por lo tay, a la solución de cualquiera de estos conceptos.
En tal sentido, el álgebra simbólica hace referencia a una etapa moderna en el desarrollo histórico de esta rama de las matemáticas. Sería Francisco Vieta, uno de los precursores del álgebra, quien en el siglo XVI, realizaría el aporte de una nomenclatura más sencilla y práctica en la representación de las operaciones algebraicas.
Matricial
El álgebra matricial es una rama que se encarga de analizar a través de una notación precisa, específicamente, los matrices, un objeto descrito como la disposición de elementos mayormente numéricos, los cuales, además de estar relacionados entre sí, se encuentran delimitados en un mismo conjunto.
Gracias a ello, el álgebra matricial es usada para configurar todos los datos que se encuentran en una matriz, efectuando diferentes cálculos y, en tal sentido, facilitando diferentes aplicaciones computarizadas.
De Baldor
Aurelio Baldor de la Vega, fue un profesor, abogado, pero sobre todo, un matemático cubano que se encargó de publicar en el año 1941, un libro conocido como Álgebra de Baldor.
Es un libro que se usa actualmente para aprender a realizar diferentes tipos de cálculos, específicamente, a través de la repetición y conceptualización de todos sus elementos. En su contenido, es posible encontrar más de 5.000 ejercicios, lo que le convierte en una de las enciclopedias de matemáticas más importantes tanto del siglo XX como XXI.
El libro ha tenido un éxito rotundo en todos los países hispanos, siendo uno de los más conocidos en su gama, y al mismo tiempo, uno de los más consultados gracias a su variedad de contenidos.
¿Para qué sirve?
Podemos entender que el álgebra funciona como una herramienta que permite realizar diferentes operaciones aritméticas como multiplicación, suma, resta y división. En este caso, hace uso, no solo de números, sino también de símbolos, con lo que es capaz de establecer diferentes leyes generales y desarrollar ecuaciones con el uso de variables incógnitas.
Desde esta óptica, nos encontramos con un sistema que aporta un gran valor útil al área de las matemáticas, y por lo tanto, en un abanico extenso de áreas especializadas. Veamos algunos ejemplos.
Una de las aplicaciones del álgebra más importantes reside en la ingeniería. En este caso, se emplea en la ingeniería mecánica y civil para diseñar procesos y sistemas consistentes como edificaciones, puentes, transbordadores. El uso del álgebra permite calcular y analizar variables inherentes a tales procesos como, por ejemplo, el despegue de una nave.
En el área de finanzas es empleado para estudiar variables como ciclos de consumo, comportamiento de compra y tráfico de consumo. Estos análisis permiten estudiar ganancias a largo plazo, así como la rentabilidad de un negocio.
Asociativa
El álgebra asociativa es una rama de la matemática que se encarga de aplicar y analizar la multiplicación de vectores tanto de forma asociativa como distributiva. En otras palabras, consiste en la multiplicación de un espacio vectorial aplicado a cualquiera de las dos formas antes mencionadas, destacando como un álgebra especial.
Abstracta
El álgebra abstracta es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de estructuras algebraicas, entiéndase: espacios lineales, campo, dominios de intensidad, módulo sobre un anillo, grupo y anillo. Recordemos que un sistema algebraico está basado en la descripción de una o más operaciones que constituyen un conjunto abstracto junto a sus propiedades.
Esta rama también recibe el nombre de álgebra superior, y todas las abstracciones que esta analiza fueron definidas, en su mayoría, en el siglo XIX. La razón que motivó el diseño del álgebra abstracta habría sido la necesidad de disfrutar de exactitud en las definiciones del tipo matemáticas específicamente.
La aplicación del álgebra abstracta está dirigida, en parte, a facilitar la distinción del álgebra elemental, rama encargada de presentar las reglas necesarias para emplear expresiones algebraicas y fórmulas inherentes a números complejos y números reales.
Por su parte, el uso del álgebra abstracta se ha empleado para analizar con precisión lo subyacente en las afirmaciones lógicas que están basadas en las ciencias naturales y las matemáticas. En tal sentido, es usada en todas las ramificaciones de las matemáticas, así como en el estudio de estructuras lógicas denominadas axiomas.
Según autores
Al ser una herramienta por excelencia en el área de las matemáticas, el álgebra ha sido definida por múltiples autores a lo largo de la historia. Estas son algunas de las definiciones que posee en la actualidad.
- Baldor la define como “una rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible”.
- Bourdon (1849) describe el álgebra como “una parte de las Matemáticas que por medio de ciertos signos abrevia y generaliza los raciocinios que se hacen al resolver las cuestiones relativas a los números. Hay dos especies principales de cuestiones: el teorema, que tiene por objeto demostrar la existencia de ciertas propiedades correspondientes a ciertos números conocidos y dados; y el problema, cuyo objeto es determinar ciertos números por el conocimiento de otros que tienen con los primeros, relaciones indicadas en el enunciado”.
- (Desconocido): “el álgebra es la rama de la matemática que tiene por objeto el estudio de las operaciones algebraicas definidas en conjuntos arbitrarios, considerando operación algebraica a toda ley que asocia dos objetos matemáticos”.
- Gómez (1995) define al álgebra como “una herramienta apta para comprender las generalizaciones, captar conexiones estructurales y argumentar en matemáticas”.
- Irwin y Fletcher (1979) describen que el álgebra “es efectivamente una continuación de la aritmética, pues también trata de los números. El álgebra es una rama ya antigua de las matemáticas, que se ha ido desarrollando desde hace varios siglos. Su objeto es estudiar las propiedades de los números y manejar las combinaciones y relaciones numéricas”.
Y sus partes
En primer lugar, es preciso comprender lo que es un término algebraico. Se trata de un producto de al menos una o más variables y una constante del tipo numérica o literal (letra) la cual es denominada como coeficiente. En todo término algebraico encontraremos cuatro elementos, o al respecto, sus partes, denominadas como: signo, factor literal, coeficiente numérico y variable.
- Coeficiente: Se le denomina coeficiente a la letra o número que se ubica por delante de una determinada cantidad para posteriormente ser multiplicada. Este coeficiente es empleado para denotar la cantidad de veces que tal cantidad debe valorarse como un sumando. Cuando la cantidad no proceda a un coeficiente numérico, se interpreta como si fuera una unidad.
- Signo: Los elementos que se colocan junto al signo (+) son denominados positivos, mientras que los que preceden al signo (-) son conocidos como negativos. No obstante, el primero suele ser omitido, lo que deviene en que todos los elementos que no posean uno se sobreentienden como positivos. Los signos son aquellos símbolos que determinarán si un valor es negativo o positivo.
- Grado: Se trata del exponente que posee una letra, las cuales funcionan como las potencias de cada una de las variables.
- Parte literal: Son aquellos elementos formados por letras que se encuentran presentes en el término.
Cómo funciona
Para comenzar, recordemos que, el álgebra es una rama en la que se hace uso de números, símbolos y letras para representar las relaciones aritméticas presentes en una operación matemática. Adicionalmente, valoremos la de que en esta, se realizan operaciones base como adición, sustracción, multiplicación, división y radicación.
El álgebra destaca como la base de las matemáticas, e inclusive, es considerada una forma de lenguaje dentro del área. Mientras la aritmética no es capaz de generalizar las operaciones u operaciones matemáticas, el álgebra se caracteriza precisamente por combinar y representar elementos de cualquier abstracción para solucionarlos por medio de la lógica matemática.
Sucede que el álgebra es capaz de establecer generalizaciones que pueden satisfacer los criterios de un teorema, en tal sentido, las representaciones que se realizan a través de esta, podrán ser calculadas y estimadas a partir del resultado obtenido en dicha operación algebraica.
Un ejemplo muy sencillo puede ser citando la notación: 2*2, la cual equivale a 22. A través del álgebra, esta puede representarse como a*a = a2. Bajo esta premisa, el álgebra se adentra en una variedad de aplicaciones como la teoría de exponentes, división algebraica, radicación, ecuaciones cuadráticas, etc.
¿Dónde se aplica?
Por su naturaleza, el álgebra se ha convertido en un elemento fundamental en la aplicación de una variedad de áreas especializadas, así como de aplicaciones profesionales como la arquitectura y la ingeniería civil.
El uso de los números y símbolos se transforma en un mecanismo de gran valor útil para ciencias como la estadística, matemáticas, química y geometría. Ello, con el objeto de facilitar la obtención de una solución ante un determinado problema a través de la asociación de variables y números para generar ciertas variables y/o ecuaciones.
Leer también: ax2+bx+c caso de factorización; reducción de términos semejantes; Matemáticas, geometría en Sumeria, Babilonia, Mesopotamia
Fuentes
- (S/F) Álgebra Abstracta. EcuRed. Recuperado de: https://www.ecured.cu/%C3%81lgebra_abstracta
- (2021). Álgebra Booleana. MecatrónicaLATAM. Recuperado de: https://www.mecatronicalatam.com/es/tutoriales/teoria/algebra-booleana/
- (2015). Qué es Álgebra Simbólica. SlideShare. Recuperado de: https://es.slideshare.net/Jesus-Rosales-m/qu-es-el-lgebra-simblica
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